در ميان اتحادهاي جبري، برخي از اتحادها بسيار مهم و کاربردي مي باشند و در حل معادلات، محاسبات جبري، تجزيه عبارت جبري و... بسيار کاربرد دارند. از اين رو دانستن و به کاربردن آنها از اهميت خاصي برخوردار است. در اين قسمت به بررسي اين اتحادهاي مهم مي پردازيم.

اتحاد مربع مجموع دو جمله

---

اتحاد مربع تفاضل دو جمله

 

---

مثال:

اتحاد مکعب مجموع دو جمله

---

مثال:

اتحاد بسط دو جمله اي نيوتن

در دو اتحاد قبل مشاهدي کرديد که عبارت مجموع با تفاضل دو جمله چون (a+b)،(a-b) به توان هاي دو و سه رسيدند. حال اين اتحاد براي توانهاي طبيعي n هم قابل تعميم است و به آن اتحاد بسط دو جمله اي نيوتن مي گويند.

اتحاد مربع سه جمله

---

مثال:

تعميم اتحاد مربع چند جمله

---

مثال:

اتحاد مزدوج

---

مثال:

• لازم به توضيح است اگر داشته باشيم a+b آنگاه عبارت a-b را مزدوج عبارت اول يعني a+b مي گويند.

اتحاد جمله مشترک

---

مثال:

تعميم اتحاد جمله مشترک

• اين روال به همين ترتيب براي حالات ديگر هم برقرار است.

---

مثال:

اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

---

مثال:

تعميم اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

پس مي توان نتيجه زير را بيان کرد:

• لازم به توضيح است که اين اتحاد فقط براي حالتي برقرار ست که توان n عدد طبيعي فرد باشد.

---

مثال:

اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

---

مثال:

تعميم اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

پس مي توان نتيجه زير را بيان کرد:

• لازم به توضيح است اين اين اتحاد براي هر عدد طبيعي n برقرار است.

---

مثال:

اتحاد اويلر

• برهان:

• صورتي ديگر از اتحاد اويلر:

• برهان:

• نتايج اتحاد اويلر:
  • اگر a+b+c=0 آنگاه
  • اگر a=b=c آنگاه

---

مثال:

همچنين اگر باشد آنگاه داريم:

اتحاد لاگرانژ

---

مثال: